Definición
de Logaritmo
Se
define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base,
es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para
obtener un resultado determinado.
Logaritmo_1.jpg
(658×310)
Por ejemplo:
5
0 = 1
51
= 5
52
= 25
53
= 125, etc.
Luego,
siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log5 1) es 0, por
que 0 es el exponente al que hay que elevar la base 5 para que dé
1; el log5 5 es 1; el log5 25 es 2, el log5 125 es 3, etc.
-
No existe el logaritmo de los números negativos.
-
El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos.
Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión logb a,
siempre, por definición, a ∈ R+ y b ∈ R+ – {1}.
-
La expresión logb a , se lee como: “logaritmo de a en base b”.
Volvamos a la definición de logaritmo:
“exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para
que resulte un número determinado”.Si lo escribiera como ecuación,
corresponde a resolver logb a = x, donde b es la base del logaritmo y
a es su argumento, con a y b positivos.
Ejemplo1:
-
Calcula el valor de log7 343
equivale
a resolver la ecuación:
log7
343 = x
Entonces,
ya que la base del logaritmo es 7, el exponente no se conoce y 343 es
el argumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir:
7x
=343
7x
= 73
luego,
igualando los exponentes, se concluye que
x=
3
Luego,
log7 343 = 3
Ejemplo
2:
-
Calcula el valor de log0,7 0,343
equivale
a resolver la ecuación:
log0,7
0,343 = x
Luego:
0,7x
= 0,343
0,7x
= (0,7)3
Luego,
igualando exponentes tenemos:
x=3
log0,7
0,343 = 3
Para
una definición más completa de logaritmos, se determinarán
restricciones respecto de su base y su argumento.
Propiedades
2.1-
Logaritmo de la unidad
El
logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.
logb
(1) = 0 ; con b ≠ 1.
Ej:
log5 (1) = 0 porque 50 =1
log7
(1) = 0 porque 70 = 1
log20
1 = 0 ⇔ 200 = 1
2.2-
Logaritmos de la base
El
logaritmo de la base es igual a 1.
logb
(b) = 1 ; con b ≠ 1.
Ej:
log5
(5) = 1 ⇔ 51 = 5
log6
(6) = 1 ⇔ 61 = 6
log12
(12) = 1 ⇔ 121 = 12
2.3-
Logaritmo de una potencia con igual base:
El
logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el
exponente de la potencia y el logaritmo del número.
logb
bn = n, con b ≠ 1
Ej:
log6
6 3 = 3
2.4-
Logaritmo de un producto
El
logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores.
logb
(a • c) = logb a + logb c
Ej:
logb
(5 • 2) = logb 5 + logb 2
2.5-
Logaritmos de un cociente
El
logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos
el logaritmo del divisor.
logaritmos_cociente.jpg
(485×90)
Ej:
Logaritmo_2.jpg
(418×83)
2.6-
Logaritmo de una potencia
El
logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el
logaritmo de la base.
loga
cn = n loga c
Ej:
log3
10 2 = 2 log3 10
2.7-
Logaritmo de una raíz
El
logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad
subradical dividido entre el índice de la raíz.
logaritmos_raiz.jpg
(488×104)
Ej:
Logaritmo_3.jpg
(488×331)
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